Función lineal
matemática, el término función lineal puede referirse a dos conceptos diferentes.
En el primero, correspondiente a la geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, una función que se representa en el plano cartesiano como una línea recta.
Esta función se puede escribir como
En el segundo caso, en matemáticas más avanzadas, una función lineal es una función que es una aplicación lineal. Esto es, una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva la suma de vectores y la multiplicación por un escalar.
Una función lineal según la primera definición dada anteriormente representa una aplicación lineal si y sólo si b = 0. Así, algunos autores llaman función lineal a aquella de la forma f(x) = mx mientras que llaman función afín a la que tiene la forma f(x) = mx + b cuando b es distinto de cero..
Ejemplo
Una función lineal de una única variable dependiente x suele escribirse en la forma siguiente
En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:
La ecuación:
En el caso de una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:
[editar] Geometría analítica de la recta en el plano
La Geometría analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas de geometría, en un plano xy, podemos representar una recta y= mx + b, y determinar las valores de m y de b que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo las de un problema de geometría, veamos algunos casos del empleo del cálculo aplicado a la geometría:[editar] Rectas que pasan por un punto
Determinar las rectas del plano que pasan por el punto (x0,y0).La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe:
[editar] Recta que pasa por dos puntos
Determinar la recta del plano que pasan por los puntos (x1,y1) y (x2,y2).Como en el caso anterior, la ecuación de la recta es:
Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:
Una relación curiosa de la ecuación anterior es:
Rectas perpendiculares
Dada una recta:Sabiendo que:
Es fácil percatarse que las ordenadas en el origen de las rectas, no intervienen para determinar las rectas perpendiculares, esto es porque la perpendicularidad es un problema de dirección, y los puntos por los que pasa la recta no influyen, si la primera recta la sustituimos por una paralela a ella, el problema no se altera en absoluto, y el resultado es un conjunto de rectas paralelas, definidas por la pendiente y no por el punto concreto por el que pasa.
La función afín es del tipo:
y = mx + n
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.
Ejemplos de funciones afines
Representa las funciones:
1 y = 2x - 1
x | y = 2x-1 |
---|---|
0 | -1 |
1 | 1 |
2y = -¾x - 1
x | y = -¾x-1 |
---|---|
0 | -1 |
4 | -4 |
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